咳嗽一个月是否可以吃阿莫西林，需要根据咳嗽的病因而定。如果咳嗽是因为肺部感染，特别是肺炎链球菌感染，吃阿莫西林是有效的。

但是咳嗽一个月也有可能是其他的原因引起，如支气管内膜结核、支气管的异物、过敏性咳嗽、肺部的肿瘤以及慢性的心功能不全等等，都有可能导致长期的咳嗽。所以在上述的几种病因情况下，吃阿莫西林是难以缓解咳嗽的。

所以如果出现咳嗽一个月，需要到医院完善血常规、胸片、胸部CT、肺功能等相关检查明确病因，根据病因进行治疗。